唯义是图,点线而成

时间:2013年01月12日信息来源:本站原创 点击: 【字体:

唯义是图,点线而成
大田县教育局 郑祥旦 
  
  北师版六年级上册《成员间的关系》教材首先呈现了家庭成员之间的关系图,并认为“结合生活经验学生很容易看懂这个图,知道成员之间的相互关系,比如小冬和小丽是堂兄妹或堂姐弟的关系。” (见北京师范大学出版社2007年出版的教材配套《教师教学用书》第112页)。因此,有的老师用了大量的教学时间让学生在说“称谓”,诸如堂兄弟表姐弟之类。显然,称谓问题属于社会生活中伦理的范畴,而不是图论中所说的“关系”, 此“家庭成员之间的关系图”亦非彼数学意义上的“图”。如何让学生在具体的情境中体会图对刻画事物或数之间关系的作用呢?本文结合实际教学,谈谈自己的体会。
  【片段1】在具体的情境中初步认识图
  让学生阅读教材,并仿照小冬家祖孙三代的关系图,画出自己家祖孙三代或四代的关系图。
  师:教材中“祖孙三代”是什么意思?你会说说小冬家成员的辈分关系吗?
  生:爸爸、姑姑和叔叔都是爷爷奶奶的子女,小冬是爸爸他*的儿子,小军是姑父姑姑的儿子,小丽是叔叔婶婶的女儿。
  生:爷爷奶奶年龄最大,爷爷也可以说是祖父,他们是小冬的祖父辈。爸爸也可以说小冬的父亲,爸爸妈妈是小冬的父辈;爸爸妈妈、姑父姑姑、叔叔婶婶是同一辈,都是小冬的父辈。小冬、小军、小丽是同一辈,他们都是爷爷奶奶的孙子,是孙辈。
  生:爸爸妈妈是小冬的父辈,反过来,小冬是爸爸他*的子辈;爸爸妈妈和小冬是父子关系。同样地,姑父姑姑和小军是父子关系,爷爷奶奶和爸爸妈妈也是父子关系。……。
  生:一共能找出6对的父子关系。
  老师相机绘制出下图1:
  唯义是图,点线而成
       图1
  师:如果用点A表示爷爷奶奶,那么一共要用几个点来代表小冬家的成员?
  生:一共有7点。我们可以用的任意字母表示这些顶点,如用B、C、D代表父辈,E、F、G代表孙辈。
  生:也可以用B、C分别表示爸爸妈妈、小冬,用D、E分别表示姑姑姑父、小军,用F、G分别表示叔叔婶婶、小丽。(教师相机引导学生在练习本上描出各点的伞形分布图。)
  师:两位同学记点的顺序不同,结果同一个点所记的字母也不同,但他们的做法都是对的。请大家再想一想:如果B和C是父子关系,用数对记为(B,C),你共能找出多少对这样的数对?
  生:( A,B),(A,G),(A,E),(B,C),(G,H),(E,F),共6个数对。
  师:如果点B和C之间画一条带箭头的线,你能画出所有的线吗?(学生动手操作,画出图2。)
      唯义是图,点线而成
  图2
  师:小冬家庭成员间的关系可以简化成由标有字母的点和带箭头的线组成的图,其中的点叫做顶点,带箭头的线叫做弧。有6个数对都是父子关系,一共画6条弧。
  师:请利用有向图表示出自己家庭成员间的关系。(学生练习。)
  数学教育要“上通数学,下达课堂”。什么是“图”?图论认为,有限集A上的二元关系可用关系图来表示。A中每个元素ai用一个点表示,称该点为顶点ai。aiRaj,则画一条从顶点ai到顶点aj的带箭头的线,称该线为弧。对于关系R中每个有序对都可对应地画一条带箭头的弧,从而得到关系R的图形,称为R的关系图,即R的有向图。
  本课利用家庭成员间的关系建立“图”的概念,分两个层次进行教学。
  第一层次,让学生根据生活经验多角度探索成员间的辈份关系,理解其成员间关系的三分法(祖、父、孙)和两分法(父、子),为认识有向图的顶点和二元关系奠定基础。
  第二层次,先把各种不同身份的成员看成7个顶点,每个顶点各用一个字母表示;接着,定义二元关系R:从A到B为父子关系,则R={(A,B),(A,G),(A,E),(B,C),(G,H),(E,F)};最后,存在父子关系的两点间(如A与B)画一条弧“唯义是图,点线而成”,便得到有向图。顶点、有序对、弧是构成有向图的三要素,只要在具体的情境中找到这些要素,就轻松地构建出“图”。但是,这些知识对于学生来说都是全新的,缺少必要的认识基础;而在阅读课文的时候,学生对有向图又具备了一定的潜在认识。所以,教学时老师就可直接提示其表示方法,学生在“做”中学,从而实现有效教学。教学时,还结合实际让学生学习“顶点、弧”等图论术语,利于学会图论的初步知识。
  【片段2】在其他的情境中进一步认识图
  练习1:
       唯义是图,点线而成
  师:请认真读题,并分析关系图的含义。
  生:图中有3个顶点,3条弧,弧“D唯义是图,点线而成C”表示C是D的姐姐,即(C,D)。
  师:回答题目中的两个问题,并说一说你是怎样想的。
  生:第1小题,根据弧“D唯义是图,点线而成C”表示C是D的姐姐可以推出:弧“E唯义是图,点线而成C”表示C是E的姐姐,用数对表示是(C,E);弧“D唯义是图,点线而成E”表示E是D的姐姐,用数对表示(E,D)。
  生:第2小题,C是D的姐姐,C大,而D小。因为C是E的姐姐,E是D的姐姐,所以我们可以推出:C最大, D最小。
  练习2:
       唯义是图,点线而成  
  师:请在题目中找出说明二元关系的句子,再独立完成练习画出有向图,最后进行汇报及评议。
  生:第一小题,3是12的因数,用数对表示是(3,12),再画一条弧,箭头朝向12。
  生:第二小题,原有2个数对(3,24)和(6,24),还有4个数对(6,12)、(3,12)、(3,6)和(12,24);在原图上还要再画出4条弧,箭头朝向大数。
  张奠宙教授在《中国数学双基教学》第82~83页指出,设计适当的变异空间是构成有效教学的关键,这种学习空间的丰富程度影响着对学习对象理解的深度和广度。本课练习的设计正是遵循这个理念。
  第1题,已知一个“有向图”,分析其二元关系并进行简单的推理。练习时,让学生运用有向图的三要素进行推理:图上的三个孩子分别用C、D、E三个点表示;“D唯义是图,点线而成C”为D是C的姐姐,所以另两个数对也有同样的关系。
  第2题,已知顶点和二元关系,在已有弧的基础上学生继续画弧,就构成有向图。让学生独立思考,运用已知条件推出所有的二元关系,画出相应的弧,从而就正确地画出有向图。
  【片段3】在对比与思辨中加深认识“图”
  教师让学生比较“练习2”中的第1个图和第2个图。
  师:想一想,两个图有什么不同?
  生:第2个图,任意两个数间都有因数关系,运用组合原理,有6个数对画6条弧;而第1个图,2和3之间没有因数关系,不能画再弧。
  接着,让学生分析小冬家的“有关系R”和“没有关系R”。
  生:因为A和C不是父子关系,G 和C也不是父子关系,所以点A和C之间、点C和G之间不能画弧。(师生共同小结:有关系的数对之间能画弧;没有关系的数对之间不能画弧。)
  在同一“图”中只能有唯一的二元关系和唯一的弧,二元关系和弧存在一一对应关系,反过来说,没有关系的两个顶点之间不能画弧。教学时,直接利用片段1和片段2的习题,在正面认识的基础上引导学生进行批判性思维,经过正反两个方面的比较,学生加深了对二元关系和弧的认识。
  【片段4】 在知识的运用中自我设计“图”
  练习3:
      唯义是图,点线而成
唯义是图,点线而成
  弧没有固定的格式。带箭头的线,从外延分析,可以是直线,也可以是曲线; 箭头的方向和位置,可以由作图人的习惯而定。对于非本质属性的教学内容,教师完全可以学生更大的空间,让他们自由发挥,选择自己喜欢的方式表示。教学时,让学生自主设计弧的画法,汇报交流后方法的多样性就显现出来,从而加深对弧的外延的理解,同时培养其创新意识。
  综上所述,教学《成员间的关系》,运用有向图的三要素,用顶点表示成员,用弧表示二元关系,画出“点”与“线”,“图”可自然而成。反之,倘若弃三要素而不用,其教学便是说说“称谓”而已,事倍而功半。
  (发表于《福建教育》2012年第40期)
(作者:郑祥旦 编辑:admin)
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