细数几何直观

时间:2013年01月15日信息来源:本站原创 点击: 【字体:

细数几何直观
郑祥旦
 
  “几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”,也即用图形作为数学语言来描述和分析数学问题。几何直观是解决问题的策略,可以帮助学生理解数学,在整个学习过程中发挥其重要作用。本文所说的几何直观仅限小学阶段。
  一、在图形与几何的教学中的几何直观
  加强几何直观,重视图形在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观进行思考。首先,在空间与几何教学中借助几何直观,揭示研究对象的性质和关系,把数学问题变得简明、形象,探索解决问题的思路。
  在几何的教学中,掌握规则图形的周长、面积和体积公式能应用公式解决实际问题是重要的学习内容。有的学生虽然也能背诵这些公式,但又会用错公式,如需要计算正方形的周长,却用了长方形的周长公式;需要计算长方体的表面积,却用了长方形的体积公式。探究其原因是这些学生不会借助几何图形的解决问题。
  教学时,可让学生根据几何图形的名称、测量所用的单位画出或想像出相应的图形。如:
  例1.一个圆锥形沙堆,底面积是28.26m2,高是2.5m。用这堆沙在10m宽的公路上铺2㎝厚的路面,能铺多少米?(人教版2009年六下P30第5题)
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  学生读题,划出词语:圆锥形沙堆、底面积、高;10m宽、铺2㎝厚、铺多少米。根据这些词语可画出圆锥和长方体,如右图。
  从图可知:圆锥形沙堆转换为长方体,两者的体积相等。这样,学生就寻求到了解决问题的思路。
  在“数学——几何——图形”的关系链中,学生进一步巩固和发展空间观念,获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体会到几何直观所带来的最大好处。
  二、在数与代数的教学中的几何直观
  1.数形结合
  事实上,很多重要的数学内容、概念,例如数,度量,函数,等等,都具有“双重性”即“数”的特性和“形”的特性。从“数”与“形”两个方面去认识,这些数学内容、概念就变得形象、生动起来,这也就是通常所说的“数形结合”。小学数学常见的数形结合有:
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  第一种,用一个图形表示一个物体,图形的个数就是一个数。如加法的认识(人教版2012年一上),小丑演员在表演,把3个红气球和1个蓝气球合并在一起,一共有4个气球。一个气球用一个点子表示,用点子图表示气球的变化过程是:左边有3个点子,右边有1个点子,合起来一起有4个点子。用“点子”去掉了气球的颜色,实现由具体情境向半抽象水平过渡。再根据3和 4之间的大小关系,就能探索出3+1=4。
  第二种,用一条线段表示一个数,在同一个图形里同样长的线段表示同样大的数。如用数形结合策略教学人教版四上“积的变化规律”。教师呈现了一个长方形(图二),引导学生猜想、观察、验证:当长不变时,宽扩大3倍(图二),图形“长高”了,面积也会扩大3倍;宽缩小到原来的(图三),图形“变矮”了,面积缩小到原来的。画图时,10和6,10和18,10和2成比例,表示10的线段同样长;否则,图形就会失去它存在的价值,起不到几何直观的作用。
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        2.用图形表示数量关系
  用图形来表示数量之间的关系,如 “弟弟采了4个桃子,哥哥比弟弟多采了3个,一共了多少个”,可画一个文氏图表示了数量之间的关系(如图)。
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  3.用线段图表示数量关系
  线段图既表示数量关系,也表示具体的数量。如“据统计,2003年世界人均耕地面积为2500m2, 我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的,我国人耕地面积是多少平方米”(人教版六上P16),可画线段图如图:一条线段表示2500m2,平均分成5份,每份都是500 m2,2份是1000 m2。再根据整体与部分之间的关系,学生就得出数量关系式:世界人均耕地面积×=我国人均耕地面积,从而学会用分数乘法来解决问题。
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  4.用表格表示数量的对应关系
  如下表(人教版六下 P41),1时所对应的路程是80㎞,2时所对应的路程是160㎞,……。通过找对应关系,可以计算相对应的两个数的比值都是80,即速度一定,所以路程和时间成正比例。
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  5.用表格求出方程的解
  如“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有几只”(人教版六上P113)。设有x只兔,则有(8-x)只鸡,列方程得4x+2(8-x)=26。当x=0,1,2,3…时,可得下表:
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  根据表中数据的对应关系x=5是方程的解,而其它的数都不是方程的解。
  6.用点的位置表示数量
  正比例的图像就是用点的位置表示数量,如“水的质量和体积成正比例可以用下面的图像表示”(人教版六下P40)。
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  学生观察图像,可体会坐标系横轴上和竖轴上的数据表示的含义是:列数表示水的高度,行数表示水的体积。如果用数对表示例1的中数据,即(2,50),(4,100),(6,150),……,这每一组数据都可在图中用一个点来表示。所以不用计算,可以由一个量的值,直接找到对应的另一个量的值:高度是7的对应点的数对是(7,175),即高度是7 cm时,对应的体积175 cm3;体积是225 cm3的对应点的数对是(9,225),即体积是225 cm3时,对应的高度是9cm。
  三、在统计与概率的教学中的几何直观
  统计表。用表格表示数量的对应关系。
  条形统计图。在纵轴用线段表示一定单位的数量,并长方形的高矮来表示所统计项目的数量,而其宽度总是一定的。
  折线统计图。也是在纵轴用线段表示一定单位的数量,然后用点的位置表示所统计项目的数量,把相邻的点用线段连接。
  扇形统计图。用一个圆的面积表示整体的数量,用扇形的面积表示各部分的数量占整体的百分比。
  在小学,统计的核心是数据分析,统计表图的画法不是教学的主要任务,根据几何直观体会数据中蕴涵着的信息才是教学的重点。
  四、在综合与实践的教学中的几何直观
  “铺地砖”是北师版教材五年级上册的一次综合实践活动。活动题材:小明卧室地面的长和宽分别是5m和4m。有两种规格的地砖:第一种40㎝×40㎝的地砖,每块5元;第二种50㎝×50㎝的地砖,每块8元。问题:铺满整个地面,需要多少块?需要多少元?活动中,借助几何直观,教学就变得很有味道了。引导学生画一画1m2需要多少块,如下图。
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  从图中可知,第一种地砖,1m2需要6块;第二种地砖,1m2需要4块。学生继续画图,可得用第一种地砖,需要125块;第二种地砖,需要80块。
  综上所述,几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由这些要素所组成的其它图形,如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、圆柱、圆锥及其线段、射线、直线等。几何直观不仅是看到了什么,而是通过看到的图形思考到什么,想像到什么,把看到的与以前尝到的结合起来,通过思考、想像,猜想出一些可能的结论和论证思路。几何直观可以帮助我们发现、描述研究的问题,可以帮助我们寻求解决问题的思路,可以帮助我们理解和记忆得到的结果。
(作者:郑祥旦 编辑:admin)
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