基于观察物体,审视认识立体图形的教学

时间:2013年02月04日信息来源:本站原创 点击: 【字体:

基于观察物体,审视认识立体图形的教学
郑祥旦
 
  一、为什么要学习观察物体
  观察物体是“视图与投影”的学习内容,人教版教材中二年级用平视的方法从不同角度观察简单物体的形状,五年级用平视和俯视的方法从不同观察物体的形状和相对位置。为什么要学习观察物体?先从学知识的角度进行分析。
  旧石器时代,原始人通过制作石球,对于球体形成比较抽象的认识,有了球的观念。接着,对其他几何形状也逐渐有所了解,如圆柱状和圆台状,但柱状石器的出现比锥状石器要晚。把立体投影到某一表面上首先得到原型的轮廓图,其次是逐渐抽象而成为非常简单的直线形和圆形几何图案,这在认识上和技能上都是一次飞跃。这种演变过程,在仰韵文化中有较为明显的表现。原始社会的人对平面图形的认识大约晚于立体形状。
  画法几何学借助平面上的图象来研究客观世界中物体的空间以及相应的几何规律。图象的需要,在原始社会里就已经表现出来。由于空间形体是三维的,三个投影面在空间构成直角三面形,它的图象就会更明确,这三个投影面分别是水平投影、正面投影和侧面投影。所以说,投影是认识立体图形的重要方法。
  对于立体图形的认识,数学书上有不同的描述。
  1.高中课本中的定义方法
  一般地,把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱。长方体和正方体都是四棱柱,如图一:
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       图一         图二          图三
  把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱,如图二。
  以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥,如图三。
  2.直观几何中的定义方法
  最简单的曲面是平面。最简单的曲线是平面曲线;平面曲线当中最简单的是直线。直线之外最简单的曲线是圆。最简体的弯曲的面是柱面。柱面可以由最简单的曲线——直线和圆——用下法得出:沿一圆周移动垂直于圆面的直线。另一种方法是:将一直线绕着和它平行的轴回转。圆柱面是一种回转曲面。
  仅次于圆柱面的最简单的回转曲面是圆锥面。圆锥面由回转一直线而得,但回转轴与该直线相交。因此,从一定点到一定球的所有切线形成一圆锥面,又从一圆的轴上一点作到该圆的所有投射线也形成一圆锥面。
  再从用知识的角度分析。通过两个阶段的学习,学生掌握了观察物体的方法,这种方法原本可以很好地运用到认识长方体、正方体、圆柱和圆锥等立体图形中去,但实际的教学却是学而不用,这不能不说一件很遗憾的事。
  二、运用观察物体的方法认识长方体和正方体
  课标各版本的教材基本上直接从空间几何的元素——点、直线和平面入手认识立体图形的特征,其抽象程度相对比较高,如:
   基于观察物体,审视认识立体图形的教学
  让学生拿几个长方体来观察,从数量的角度认识点、直线和平面的特征,概括出定义:长方体是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
  为什么要从点、直线和平面等角度认识长方体的特征?如何在一维、二维的基础上发展三维空间?那种用几何元素直来直去的教学,是无法解决这些问题的。如果运用观察的方法认识立体图形的特征,那么教学效果就将是另外一种情形。
  案例1:长方体和正方体的认识
  1.从体到面:通过从不同方位看到的长方体和正方体的形状认识面的特征
  老师拿出几个长方体实物(实物的种类要有代表性,有的6个面都是长方形,有的6个面都是正方形,有的其中相对2个面是正方形)。
  引导学生对每个长方体从不同方位观察物体的形状,并结合方位词把观察结果表达来,如长方体的纸盒上面是一个长方形。概括出:长方体的6个面都是长方形,正方体的6个面都是正方形,而只有2个面为正方形的则是长方体。
  引导学生观察面的大小,得出:长方体中相对的面完全相同,正方体的6个面都相等。两个互相平行的面叫做它的底面;其余各面叫做它的侧面。
  学生还可能运用原有的认知说出:长方形和正方形中相交的两条边相互垂直;长方形的对边平行且相等;正方形的对边平行,4条边相等。
  2.从面到线:通过相交面的公共边认识棱的特征
  算一算:这6个长方形(或正方形)的面一共有几条边?即4×6=24,共24条边。
  数一数:从这个长方体(或正方体)你看到了几条线段?
  想一想:看到的结果和计算的结果为什么不一致?
  引导学生概括:相邻的两个面相交,相交面的公共边是长方体(或正方体)的棱。24÷2=12,一个长方体(或正方体)有12条棱。在一个长方体中,相对的棱长度相等;在一个正方体中,12条棱长度相等。
  3.从线到点:通过相交直线的公共点认识顶点的特征
  算一算:一条线段有2个端点,这个长方体(或正方体)的12条边一共有几个端点?即2×24=24,共24个端点。
  数一数:从这个长方体(或正方体)你看到了几个点?
  想一想:看到的结果和计算的结果为什么不一致?
  引导学生概括: 3条相交的棱的公共点,即侧面和底面的公共顶点是长方体(或正方体)的顶点。24÷3=8,一个长方体(或正方体)有8个顶点。相交于一点的3条棱分别叫做这个长方体(或正方体)的长、宽、高。长、宽、高相等的长方体是正方体。
  最后,让学生根据一个长方体(或正方体)模型(或实物),想像出它的点、直线、平面的特征。
  [设计意图:弗赖登塔尔说,他所说的“再创造”是指应该使学生体验到:如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识,他们是怎样把知识创造出来的。在实际教学中,让学生具备某种知识可能是容易的,但要学生把这些知识自己创造出来就不那么简单了。运用观察物体的方法认识长方体和正方体的特征,如同我们要去某城市或者步行或者乘车或者坐飞机而不是直接空降到目的地,学生在原有经验的基础上通过看、算、数、反思、概括出自己有独特理解的知识,抽象的知识直观化地创造出来,从而提高教学效率。]
  三、运用观察物体的方法认识圆柱
  圆柱是旋转体,这是课标教材的新变化,更有甚者北师大版教材不是用实物而是用旋转体认识圆柱。如何在实物和旋转体之间能达到认识的协调吗?若想要从直观几何拓展思路,如在一块木板上画一个圆并用钢丝锯锯出一个圆柱体材料,这可以吗?对于几何的认识,我们老师应该有更广阔的思维。
  案例2:圆柱的认识
  老师拿出几个圆柱体实物,学生从不同的方位观察:
  1.从上面看,是一个圆形;推断出:下面也是一个圆形;概括出:圆柱的两个圆面叫做底面。
  2.从前面和左面看,都是一个长方形;推断出:从侧面的任意方位观察,其结果相同。
  3.动手摸一摸,进一步认识到圆柱的侧面是曲面,它与平面不相同。
  引导学生进一步认识侧面:①长方形的长与宽相互垂直,根据平行线间可以画出无数条高;②从任意方位可以看到无数个长方形。所以推断出:一个圆柱的高有无数条。老师画出下图:
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  接着,让学生拿一个长方形的硬纸片,贴在木棒上,快速转动,看到一个圆柱形,如下图:
  基于观察物体,审视认识立体图形的教学 
  让学生理解:木棒是圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面是圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面是圆柱的侧面;从侧面看到的长方形的大小是原来的2倍。
  [设计意图:根据直棱柱的学习运用正迁移的原理,认识圆柱的特征。圆柱的母线虽然不是小学生的学习目标,但经过投影学生能认识到母线与直径互相垂直,两者构成一个长方形,并由此生成出“一个圆柱有无数条高”的结论,这个过程是培养学生空间观念的重要内容。]
  四、运用观察物体的方法认识圆锥
  经过前面的学习,对于认识立体图形的方法学生可能达到自动化的程度,认识圆锥可以这样进行教学。
  案例2:圆锥的认识
  让学生拿一个直角三角形的硬纸片,贴在木棒上。想一想:快速转动,看到的是什么图形?再动手试一试,并看到一个圆锥形,如下图:
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  让学生说一说生活中哪些物体的形状是圆锥体?老师拿出两三个圆锥体实物,学生从不同的方位观察:
  1.从上面看,圆柱的底面是圆;推断出:圆锥的顶点正好与底面的圆心重合。
  2.从前面和左面看,都是一个等腰三角形。推断出:从侧面的任意方位观察,其结果一样。
  3.圆锥的侧面也是一个曲面。
  引导学生进一步认识圆锥侧面:等腰三角形的两条腰长度相等,顶点对底边只能画一条高。由此推断出:一个圆锥只有一条高。
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  让学生探索测量圆锥的高:把底面放平,在顶点放置平板使之与底面一样平,两者之间的距离就是它的高。
  接着,让学生理解圆锥的旋转体:木棒是圆锥的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面是圆柱的底面;与轴相交的边旋转而成的曲面是圆柱的侧面;从侧面看到的等腰三角形的大小是直角三角形的2倍。
  [设计意图:圆锥顶点的对应点是底面圆心,通过投影学生就容易理解了。先认识圆锥的旋转体,再观察实物概括圆锥的特征,与圆柱的认识相比较,学习内容的呈现方式具有差异性,使得学习过程更有挑战性,学生便乐于学习。]
(作者:郑祥旦 编辑:admin)
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