关于加减法的概念结构

时间:2013年08月07日信息来源:本站原创 点击: 【字体:

 关于加减法的概念结构
 
  大多数学生在进入小学前就已发展起了关于正整数加减法的不少知识或技能;但是,就学生入学以后对于加减法的系统学习而言,应当说仍然经历了一个相当复杂的思维发展过程。
  具体地说,首先应提及关于“单一性概念结构”与“多单位概念结构”的区分;大致地说,这两者分别对应于“单位数的加减法(或者说,10以内数的加减法)”与“多位数的加减法”,而且,前者主要通过计数来完成运算,后者则表现为竖式计算,从而就不仅同时用到了多个不同的单位(个、十、百等,这事实上也就是研究者何以将其称为“多单位概念结构”的主要原因),并在相当程度上就可被看成特定“算法”的直接应用。
  就学生对正整数加减法的掌握而言,主要地就可被看成是由上述的“单一性概念结构”过渡到了“多单位概念结构”,也即是由单位数的加减法过渡到了多位数的加减法;另外,就所说的这两个阶段而言,我们又都可以区分出若干不同的发展水平。
  1)按照相关的研究,对于所说的“单一性概念结构”可以区分出如下的三个不同水平:第一,加项与和的单一表示;第二,简化的计数程序;第三,导出事实与已知事实的程序。
  其中,前两者的差异主要在于:第一,计算过程主要依赖于实物模拟,还是过渡了直接进行计算。第二,在进行计数时是“从头数起”,还是(从第一个加数)“继续(往后)计数”。由于“继续(往后)计数”与“从头数起”相比显然要简便得多,因此,研究者就将所说的第二水平称为“简化的计数程序”;另外,又由于这时必须将第一个加数同时看成是和的一部分,而处于第一水平的学生尚未能够做到这样一点,从而,人们就将第一水平称为“加项与和的单一表示”。第三水平的主要特点则在于对“导出事实”或“已知事实”的直接应用,如9+7=(9+1)+6=10+6=16,等等;再则,如果说在前两个水平相应的计算过程尚未明显地表现出如下的细分:审题,确定计算方法,计算方法的具体实施,那么在所说的第三水平就可大致地看出这样的区分。
  就上述的思维发展过程而言,研究表明,大多数学生都可自发地完成由第一水平向第二水平的过渡,特别是,以下的情境更有利这一发展,即学生所面对的第一个加数是一个较大的数。另外,从总体上说,所说的发展又与学生对数的认识水平有着直接的联系。例如,第二种计数方法的使用就标志着主体对数的意义的理解已经经历了由基数到序数的重要转变;进而,处于第三水平的学生对数的理解已不再局限于基数或序数,而是包括了更多的内容,也即表现出了更多的联系和更大的思维灵活性。
  2)以下可被认为是掌握竖式加减运算的三个必要前提:第一,认识到只有同一数位的数才能直接进行加减;第二,同一数位上的数的加减与单位数的加减完全相同;第三,对于“进位”与“退位”的很好掌握。也正是从上述的角度去分析,对于位值制的很好理解显然就可被看成掌握多位数的竖式加减的关键所在。
  这是美国学生在这一方面常见的一个错误,即完全不具有位值制的概念,并认为多位数就是由各个单一的数字(单位数)简单组合而成的。显然,从思维结构的角度去分析,后者即可说体现了一种完全不同的概念结构:“数字简单组合式概念结构”;进而,如果学生所具有的是这一概念结构,那么对其而言多位数的加减就必定算法的机械应用,而完全不具有任何真正的意义或内在的合理性。
  对于所说的“多单位概念结构”,又可以作出如下的进一步区分:第一,“组合式多重单位”。对处于这一水平的学生来说,各个单位,如十、百、千等,都是由最基本的单位(“一”)依次组合而成的,从而,与任一多位数、包括多位数的加减运算相对应的就都是一种“组合式”的心理图像。第二,“序列式多重单位”。与前一种情况不同,上述的各个单位这时都已转化成了相对独立的认识单位,从而,在实际从事多位数的加减运算时,学生这时所采取的就是一种“跳跃式”的计数方法,如“10,20,30,…”而不再是“10,11,12,…20,21,…”,显然,与前一种概念框架相比,后者是更为进步的,特别是,这就意味着对“实物操作”这一水平的超越。
  【摘自《数学教育:动态与省思》,郑毓信】
(作者:郑毓信 编辑:admin)
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