都“集合”了,就要认清元素

时间:2016年06月25日信息来源:本站原创 点击: 【字体:

   
 
都“集合”了,就要认清元素
――“集合”教学的思与辩
 
□ 郑祥旦
 
   摘 要 修订后的人教版小学数学教材中首次编排“正名”了的集合。本文从集合的基本概念——元素入手,对集合应掌握到何种程度、如何进行课堂建模进行了探讨和教学设计,建议教师在教学时,要让学生直观地认识集合和元素,初步学会用自然语言、列举法、韦恩图描述集合,借助元素的计数及其算式表示,初步感知元素与集合的关系,初步认识到集合中的元素是确定的、不重复出现的。

    关键词 集合教学;元素;建模
 
 
 翻阅修订后的人教版教材可以发现,实验教材中原来“无名”的“集合”(旧称“重叠问题”)现在“正名”了,并作为独立章节首次出现在小学数学中。既然教材发生了重大的变化,我们的教学还“不要使用集合、集合的元素等语言”吗?显然,这是值得探讨的。

  一、集合应该掌握到什么程度才好

  集合是数学中的一个基本概念。据最原始的集合论——朴素集合论中的定义,集合就是“一堆东西”;集合里的“东西”,叫作元素。
  元素是集合的基本概念。从一年级学习数学起,学生就开始接触集合的思想方法。例如,学习数数时,用集合的方法把1面国旗、2个单杠、3个石凳用封闭的曲线圈起来表示出数学概念;在比较多少时,用集合元素之间的一一对应关系理解“同样多”的概念。在数学中,这种用平面上封闭曲线的内部代表集合的图称为韦恩图。此外,集合还可以用自然语言、列举法来描述。如果小学生能够正确地用列举法表示一个集合,剩下的问题就是对元素的计数了。而数出物体的个数并用算式表示,对于三年级的学生而言已有足够的经验。
  在教学集合这一内容时,多数教师的课紧扣交集(即“重叠”)展开,试图通过让学生创造出表示交集的方法,最终引出用韦恩图表示交集,用一个数学模型表示并集。与元素相比,交集、并集是集合的后继概念,这样的教学设计无疑是舍弃基本概念而直接去研究后继概念。笔者认为,与其去探讨“应该掌握到什么程度”,不如来研究学习集合的基本概念――元素,万丈高楼总要平地而起的。
  倘若学生课前已经阅读了课本,他们就可能“已经有了现在的知识”――韦恩图,形成了集合的最近发展区,那么课堂里还会出现这些丰富多彩的“有代表性的作品”吗?进一步说,我们的教学是否真的需要这些学生的作品?在集合论中,集合、元素和集合间的关系是它最基本的概念,而非韦恩图。其实,用交集的直观图来建立并集的运算模型似乎也没这么简单,即便是高中教材,集合的基本运算里也没有用元素的个数进行列式的教学要求。[1]所以,“经历集合图的产生过程;借助直观图,利用集合的思想方法解决简单的重叠问题。”这样的教学目标也是值得商榷的。

  二、如何进行课堂建模

  小学的集合教学中,我们要学生建立何种数学模型?是建“韦恩图直观表达”之模,还是并集运算的公式模型?为了回答这一问题,笔者进行了如下的教学设计。
  环节一:用多种方法描述一个集合,初步认识元素与集合的关系
  出示例题,学生读题。
 
  (1)认识用自然语言描述的集合。跳绳的学生、踢毽的学生均为一个集合,而每个学生是该集合中的元素。
  (2)认识用列举法表示的集合。
跳绳的学生A={杨明,陈东,刘红,李芳,王爱华,马超,丁旭,赵军,徐强};
踢毽的学生B={刘红,于丽,周晓,杨明,朱小东,李芳,陶伟,卢强}。
  (3)认识用韦恩图表示的集合。引导学生想象:跳绳的学生、踢毽的学生分组站在一起,再分别画一条封闭的曲线把他们包围在里面,如下图。
都“集合”了,就要认清元素
 通过阅读与理解,学生初步认识集合、元素,认识到每个名字只表示一个学生,不存在两个人同名的问题,直观地体会元素的特性:①确定性,即给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了;②互异性,即集合中的元素是不重复出现的;③无序性,即集合中的元素是没有一定的顺序的。
  环节二:把两个集合并成一个集合,再次认识元素与集合的关系
  问题1:裁判对跳绳的和踢毽的学生进行检录,这两组的学生要怎样站一起才能既能分清组别又便于清点人数?引导学生将上述韦恩图合并用新的韦恩图来表示,如下图。
都“集合”了,就要认清元素 
  问题2:从新的韦恩图中,你能看出哪些集合?每个集合里分别有哪些元素?引导学生用自然语言和列举法描述一个集合。预设如下:
  (1)只跳绳的学生C={陈东,王爱华,马超,丁旭,赵军,徐强};
  (2)只踢毽的学生D={于丽,周晓,朱小东,陶伟,卢强};
  (3)既跳绳又踢毽的学生E={杨明,刘红,李芳};
  (4)跳绳或踢毽的学生F={陈东,王爱华,马超,丁旭,赵军,徐强,杨明,刘红,李芳,于丽,周晓,朱小东,陶伟,卢强}。
  通过对集合图的多元分析,学生在不同的集合里找到它对应的元素,进一步认识元素的确定性和互异性,为元素的计数做好准备。
  环节三:计数集合里的元素,加深认识元素与集合的关系
  引导学生对集合里的元素进行计数,得出如下结论:
  (1)跳绳的学生有9人;
  (2)踢毽的学生有8人;
  (3)只跳绳的学生有6人;
  (4)只踢毽的学生有5人;
(5)既跳绳又踢毽的学生有3人;
(6)跳绳或踢毽的学生有14人。
  再引导学生用加减法算式表示集合间的关系,得出如下式子:
  (1)9-3=6;9-6=3;6+3=9。
 (2)8-3=5;8-5=3;5+3=8。
  (3)9+8=14+3;9+8-3=14;9-3+8=14,8-3+9=14。
  教学时,让学生借助韦恩图边比划边计数,同时写下算式,并得到解决问题的最终方案。在这里,学生既认识到集合里一个元素只能计数一次,又初步体会到集合的基本关系。
  环节四:变换集合里的元素,进一步认识元素与集合的关系。
  想一想:如果改变比赛的学生,参加这两项比赛的还可能是多少人?
  引导学生变换集合里的元素,再计数、写算式。例如,把踢毽的“卢强”改为“徐强”,则9+8=13+4 ;继续变换元素,直到得出9+8=9+8 。再如,把踢毽的“杨明”改为“杨光”,则9+8=15+2 ;继续变换元素,直到得出9+8=17+0 。把这些算式进行有序地排列,遮盖右边的第二个加数,从而概括得出:在集合里,参加这两项比赛的人数可能在9~17之间。
  最后小结:按照一、二年级的数学知识,9+8=17人,说明这两组的学生都只参加一项比赛;在这节课我们学到了集合的新知识:9+8≠17。这多么有意思啊!
综上所述,笔者以为集合在知识与技能方面的教学目标应是:通过具体的事例,让学生直观认识集合和元素,初步感知元素与集合的关系。因此,在小学阶段,学生要建立集合的数学模型应该是:集合中的元素是确定的、不重复出现的。
  (本文系福建省教育科学“十二五”规划课题“培养学生自主学习能力的课堂教学模式研究”(课题编号FJJKCG14-343)项目成果。)
 
 
  [本文发表在《小学数学教师》2016年第6期第60-62页.]


[1]普通高中课程标准实验教书·数学1[M].北京:人民教育出版社,2005:2~15。
(作者:郑祥旦 编辑:admin)
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